一道引人深思的数学题

 2016年12月20日 10:08  1,140  发表评论  打印本文  

澳门回归祖国一周年庆典活动 中 。 在 澳门濠江中学, 给 该校老师表示数学是很重要的一门学科,他更当场提出他读中学时所学的一道“五点共圆”平面几何题:

假设:任意一个星形,五个三角形,外接圆交于五点。求证:这五点共圆。(在任意五角星 AJEIDHCGBF 中,△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG 和△GBF 各自的外接圆顺次相交的交点分别为 K、O、N、M、L。求证:K、O、N、M、L 五点共圆。)

一道引人深思的数学题

五星角是我国的主要国家象征,此题真是寓意精妙。据说,数学大师丘成桐也用了半小时才悟出此难题答案。丘成桐在一次演讲中说:

一个很有名的例子,澳门濠江中学提出的五点共圆的问题。我第一次听说觉得非常有意思,很多读者对这个问题都很感兴趣,都想从基本定理出发推导这个定理。最近我很惊讶地听说,很多数学教育家们坚持不教证明,原因是学生们不容易接受这种思考。诚然,从一个没有逻辑思想训练的学生,到接受这种训练是有代价的。怎么样训练逻辑思考是比中学学习其他学科更为重要的。

破解这道题,用到的基本原理仅仅是初中知识:圆内接四边形对角互补(及其逆定理)。但正如所有的欧氏几何题一样,虽然已有机器证明的方法,依然是不错的脑力训练,如果不够机智敏锐,没有逻辑思考的能力,纵然具备高深的知识,也无计可施。最近,在国际数学奥林匹克竞赛上美国队首次击败中国队,这些比赛题目也并没有用到大学里的高等数学知识,但题目依然非常难,104 支参赛队,有 74 支得了 0 分。

这也是为什么,小学生的数学作业难倒大学教授的情况,并不稀罕。对小学生来说,用代数方法,可以理解为用了更先进的数学工具,工具先进了,人就可以懒一些,而用算术方法,就要费更多的脑筋了;好比不乘电梯坚持爬楼,可以锻炼身体,为了训练脑力,许多小学老师往往规定解题不许用代数,只许用算术。江主席在如此高龄,还勇于“爬楼”,确实是“不大容易”。

还是在那一年,美国《科学》杂志撰写了一篇社论,题为《科学在中国:意义与承诺》,文中特别提到了,中国是一个发展中国家,推进科学发展必须坚持“有所为,有所不为”。而数学则被他列为要集中力量取得新进展的学科之一。与数学并列,被他特别点名要“有所为”的,还有动植物基因、信息科学、神经科学、人工智能、生态科学、凝聚态物理和地球科学。

2002 年,第 24 届国际数学家大会在中国举行,这是 100 多年来中国第一次,也是至今唯一一次主办这个四年一度的国际盛会。菲尔兹奖都是颁给 40 岁以下的青年才俊的,那一届的菲尔兹奖得主是法国数学家洛朗•拉佛阁和俄罗斯数学家弗拉基米尔•沃沃斯基 。

1965 年,美国控制论学者 L.A.扎德发表论文《模糊集合论》,建立了模糊数学这门新学科。扎德教授有一本著作被翻译成中文,叫《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》(The Concept of a Linguistic Variable & Its Application to Approximate Reasoning),不知是否也在苏步青寄去的书里。

模糊数学打破了非此即彼的绝对关系,在管理、决策上能有很多应用,江主席一定从中有所“启发思考”。

“先秦的数学家提出了勾股定理,南北朝的祖冲之算出圆周率”,为这两个在国际上常被忽略的“中国贡献”再次正名,对《庄子》中数学思想的领悟:

记得我在高中读书时,老师给我们讲微积分,第一课就是讲《庄子》中的“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,很形象地使我建立起极限的概念。这表明中国古人就已认识到事物的发展变化是无限的,也说明我们的先人对自然界的认识已达到相当的水平。早在公元前二千五百年,中国人就开始了仰观天文、俯察地理的活动,逐渐形成了“天人合一”的宇宙观。

据北京工业大学数理学院教授梁在中回忆:“庄子曰:一尺之锤,日取其半,万世不竭。”他一边写,一边绘声绘色的给同学们讲这句话的意思,就是一尺那么长的一根棍,每天取其中的一半,这样永远取下去,从理论上讲,是取不穷尽的。

数学式子把这句话的含义准确的表达出来,并说这是我们老祖宗的极其重要的极限思想。讲完这句话以后,他又紧接着给同学们讲导数的概念,并在黑板上写出公式。

 

梁在中回忆,讲完极限的思想、导数的概念后,兴致勃勃地走下讲台,看到屏幕上的讲课内容,一边说道:“啊!讲求导数极值的方法”,一边挥手和同学们告别。(注:准确说,应该是通过求导推算函数的极值,故应是“导数求极值”)

虽然这些内容,往往只是在高等数学入门课上被一笔带过,但这可能是数学史上被争论最久的一个难题。无论是在哈佛的演讲,还是在北理工的课堂上,《庄子》里的那段名言 都有出现 。与庄子这段话相对的,是古希腊智者所思考的芝诺悖论,要是庄子的话正确,是不是“阿基里斯永远也追不上乌龟”了?

关于芝诺悖论,有过很多文章解释,这里不再展开讨论,但必须说明一点,许多自以为解决了这个悖论的文章,其实都是有漏洞的,或者并没有解释透彻。比如,用无穷级数收敛来证明,这个证明用到了极限概念。而极限概念,正是为了解决芝诺悖论而定义出来的。用这个概念再反证这个悖论明显是不合理的。如果有人不服气,自认为可以轻易地圆满解释这个矛盾,不妨自问一下,凭什么认为自己比牛顿(注:牛顿被称为微积分的“发明者”,请注意和“发现者”这个词的区别)、贝克莱、罗尔、欧拉、 马克思 (注:马克思曾批评极限概念建立者柯西“莫名其妙地扬弃了差值”)等大师更有信心。

千万不要小看了东西方先哲在极限问题上的这个思想碰撞,其揭示的矛盾甚至导致了第二次数学危机,从危机爆发的十七世纪直到二十一世纪,始终都存在着不同意见。而现代物理学的许多成果,至今依然在继续回答这个让江主席兴奋的自然奥秘。

从平面几何这样常能难倒数学教授的初等数学基本功,到微积分这样的高等数学基础,以至于模糊数学这样的前沿数学学科,数学功底是多么深不可测。

附:“五点共圆”问题的一个证明

连接 CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA

∵∠ACN+∠AIN=∠NHD+∠AIN=∠NID+∠AIN=180° ∴A、I、N、C 四点共圆

同理 A、K、I、C 四点共圆从而 A、C、N、K 四点共圆

∴∠GMN=∠GCN=∠ACN=180°-∠AKN 又∠LMG=180°-∠LFG=∠LFA=∠LKA

∴∠LMN=∠LMG+∠GMN=∠LKA+(180°-∠AKN)

∴∠LMN+∠LKN=∠LKA+(180°-∠AKN)+∠LKN=180° 故 K、L、M、N 四点共圆

同理可证 O、L、M、N 四点共圆

∴K、O、N、M、L 五点共圆。

weinxin
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Mr Y

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